Tema 7: Teoría de la probabilidad
La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos se contraponen a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas:
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro y así disminuir la incertidumbre. De hecho, esta teoría tubo un gran desarrollo en el marco de los juegos de azar y la disminución de incertidumbre sobre el resultado de los mismos.
PROBABILIDAD:
Cuanto más probable es que ocurre un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 1 o al 100 %.
La probabilidad nos ayuda en la toma de decisiones.
Aunque su concepto es simple, su definición es complicada y tiene 3 vertientes:
PROBABILIDAD SUBJETIVA O PERSONALÍSTICA:
-La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada.
-Este concepto de las probabilidades ha dado lugar al enfoque de análisis de datos estadísticos llamado “Estadística Bayesiana”.
PROBABILIDAD CLÁSICA O “A PRIORI”:
-Data del siglo XVIII (Laplace, Pascal, Fermat), desarrollada para resolver problemas relacionados con los juegos de azar (dados, monedas, ruletas…)
-Definición: Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N.
-Las probabilidades se calculan con un razonamiento abstracto.
Ejemplo: no hay que lanzar el dado para saber que la probabilidad “a priori” de que salga el 6 es de 1/6=0,16. Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse, pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse en torno al valor “a priori”, a esto lo llamamos teoría de grandes números.
PROBABILIDAD RELATIVA O “A POSTERIOR":
DEFINICIÓN: Si un suceso es repetido un GRAN número de veces, y si algún evento resultante, con la característica E, ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E.
-Sucesos independientes: Lanzar dos dados, tener 20 años y los ojos azules.
-Sucesos dependientes: Ej. Extraer dos cartas de una baraja sin reposición, por ejemplo, ser mujer y sufrir cáncer de mama.
-Sucesos compatibles: tienen algún suceso elemental común. Ej. A=obtener una puntuación par; B=obtener múltiplo de 3.
-Sucesos incompatibles o excluyentes: ningún suceso elemental común (A y B son contrarios). Eje. A=obtener par y B= obtener impar, A= hombre y B=mujer.
Ejemplos:
Ejemplo. Unión de Sucesos compatibles:
-Sucesos compatibles: P(A ∪ B)= P(A)+ P(B)−P(A∩B)
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A ∪ B.
Unión de sucesos incompatibles o excluyentes:
P(A ∪ B)= P(A) U P(B)= P(A)+P(B) Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar impar" y B = "sacar múltiplo de 2". Calcular A ∪ B.
Intersección de sucesos:
es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.
A ∩ B
Ej. A=obtener una puntuación par; B=obtener múltiplo de 3, A ∩ B = 6
Reglas básicas: Teoría de la Probabilidad
•
Las probabilidades de un evento o suceso siempre
oscilan entre 0 y 1
•
La probabilidad de que un evento o suceso sea
seguro es 1.
•
La probabilidad de un suceso o evento imposible
es = 0
•
La unión de A y B es:
- P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A
П B)
•
La probabilidad de un suceso contrario o del
complemento es igual a 1 menos la probabilidad del suceso.
-P (A´) =
1-P(A)
• La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define.
Probabilidad condicionada
Seleccionamos un empresario al azar y preguntamos sobre la probabilidad de que tenga por lo menos dos empresas, suponiendo que fuese quiosquero.
+ Teorema de Bayes
https://www.youtube.com/watch?v=hzGZplgtqEc
Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A
dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B
dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales el teorema de Bayes que vincula la
probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.
Distribución de probabilidad en variables discretas: Binomial y Poisson
-La distribución binomial es un modelo matemático de distribución teórica de (la normal es con variables continuas) variables discretas.
-Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades (cara/cruz; sano/enfermo…)
-El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
-La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es l-p y la representamos por q.
-El experimento consta de un número n de pruebas.
Distribución de Poisson:
-Poisson: médico miliar francés que estudia en el s.XIX la probabilidad de que un soldado muera en el campo de batalla por golpes de un caballo.
-También se llama la distribución de probabilidad de casos raros.
Tipificación de los valores y su relación con la campana de Gauss:
La tipificación de los valores
se puede realizar sí;
•
Trabajamos con unas variables continuas que:
–
Sigue una distribución normal (TLC)
–
Y tiene más de 100 unidades (LGN)
•
La tipificación nos permite conocer si otro
valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia.
•
La media coincide con lo más alto de la campana:
8
•
La desviación típica es de 2 puntos
–
El 50% tiene puntuaciones>8
–
El 50% tiene puntuaciones<8
–
Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10
•
media +/- 1 desviación típica: 68%
8+/-1:
6-10
•
Media +/- 2 desviación típica: 95%
4-12
•
Media +/- 3 desviación típica: 99%
2-14
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